Démonstration N°1 : 1 = 2

Posons a = 1 et b = 1

a = b                                             par définition

a² = a×b                                        on multiplie les deux membres par a

a²- b² = a×b - b²                            on retranche b² aux deux membres

(a+b) × (a-b) = b × (a-b)                  on développe à gauche et on factorise à droite

(a+b) = b                                       on simplifie par (a-b)

(1+1) = 1

2 = 1

Démonstration N°2 : 1 = 0,9999999999

Posons a=0,99999999999999 ... (à l’infini)

a = 0,99999999999999…                 par définition

10×a = 9,99999999999999…           on multiplie les 2 membres par 10

10×a = 9 + 0,99999999999999         on sépare les parties entière et décimale à droite

10×a = 9 + a                                  par définition

(10×a) - a = 9                                 on retranche a aux deux membres

9×a = 9                                         on utilise le fait que 10-1=9

a = 1                                             on divise par 9 les deux membres

1 = 0,9999999999

Démonstration N°3 : Pour tout x dans |R, x >= 0 (Tout entier réel est positif)

|R est l'ensemble des nombres réels (positifs ou négatifs) que l'on pourrait appeler communément nombres à virgule, la partie après la virgule comportant un nombre fini ou infini de décimales.

Pour tout x dans |R,   x²  >=  0                       résultat bien connu

Pour tout x dans |R,  (x²)^½  >=  (0)^½               mise à la puissance ½ des 2 membres

Pour tout x dans |R,   x^2×½  >=  0                   propriété : (xⁿ)^m = x^{n x m}

Pour tout x dans |R,   x¹  >=  0                       car 2×½ = 1

Pour tout x dans |R, x >= 0

Démonstration N°4 : 3 = 0

Notons != pour différent

Prenons l'équation : x² + x + 1 = 0 (E1)

E1 <=> x³ + x² + x = 0         (avec x!=0)              On multiplie par x les 2 membres

E1 <=> x³ + x² + x + 1 = 1   (avec x!=0)              On ajoute 1 de chaque côté

E1 <=> x³ = 1                      (avec x!=0)              car x² + x + 1 = 0

E1 <=> x=1

En remplaçant x par sa valeur dans E1, on obtient 1+1+1=0

3 = 0

Démonstration N°5 : Une somme d’entiers positifs est négative

Soit A = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + … (somme des puissances de 2 à l’infini)

2A = 2 + 4 + 8+ 16 + 32 + 64 + 128 + ...                 On multiplie les 2 membres par 2

2A + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ...    On ajoute 1 de chaque côté

2A + 1 = A                                                            Par définition

A = -1

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + …  = -1

Démonstration N°6 : 1 = 0 = 1/2

Soit une suite S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + … (à l’infini)

S = (+1-1) + (1-1) + (1-1) + (1-1)….. = 0 + 0 + 0 + 0 + …= 0

Ou bien S = 1 + (-1+1) + (-1+1) + (-1+1) +….= 1 + 0 + 0 + 0 +…= 1

Ou enfin S = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …) = 1 - S d'où 2S = 1 d’où S = 1/2

S = 1 = 0 = ½

Démonstration N°7 : 2 = 3

Soit l’égalité : 4 - 10 = 9 - 15

4 - 10 + (5/2)² = 9 - 15 + (5/2)²                               On ajoute (5/2)² de chaque côté

2² - 2x2x5/2 + (5/2)² = 3² - 2x3x5/2 + (5/2)²             Simple décomposition

(2 - 5/2)² = (3 - 5/2)²                                              Identité remarquable

2-5/2 = 3-5/2

2 = 3

Démonstration N°8 : 2 = 1

Soit l’égalité : 2=1+1

2 x (2-1) = (1+1) (2-1)                                      On multiplie chaque membre par (2-1)

2x2 - 2x1 = 1x2 + 1x2 - 1x1 - 1x1                    On développe

2x2 - 2x1 - 1x2 = 1x2 - 1x1 - 1x1                     On passe 1x2 de droite à gauche

2 x (2-1-1) = 1 x (2-1-1)                                   On factorise

Puis en simplifiant par (2-1-1)

2 = 1

Démonstration N°9 : 2 = 1

Soit l’égalité : x=1

x = x                                               Difficile de dire le contraire

x² = x²                                            On multiplie chaque membre par x

x² - x² = x² - x²                                    On retire x² de chaque côté

x (x – x) = (x + x) (x – x)                   On factorise à gauche, identité remarquable à droite

x = (x + x)                                       On simplifie par (x – x)

1 = 1 + 1                                         On remplace x par sa valeur

2 = 1

Démonstration N°10 : 0,5 = - 0,5

Posons a = - 0,5

2xa = -1                                         On multiplie par 2n

2xa + 1 = 0                                    On ajoute 1 de chaque côté

a² + 2xa + 1 = a²                            On ajoute a² de chaque côté

(a+1) ² = a²                                     On factorise

a + 1 = a                                        On élève à la puissance ½ de chaque côté

- 0,5 + 1 = - 0,5                               On remplace a par sa valeur

0,5 = - 0,5

Démonstration N°11 : Tous les cercles ont un rayon de même longueur

Soit 2 roues solidaires autour d’un même axe (roue 1 et roue 2). Appelons C le point au centre des deux roues. Appelons A et B les points d’intersection de la droite CAB avec le tour extérieur des roues 1 et 2. Lorsque l’ensemble fait un tour sur lui-même, on retrouve le même ensemble un peu plus loin. Appelons C’ le centre des deux roues après ce tour. Appelons A’ et B’ les points d’intersection de la droite C’A’B’ avec le tour extérieur des roues 1 et 2 après ce même tour.

La distance AA’ est égale à la distance BB’. Donc la distance parcourue par le point A est égale à la distance parcourue par le point B pendant le tour réalisé.

La distance parcourue par le point A est 2 x PI x CA (2 fois PI fois le rayon). De même, la distance parcourue par le point B est 2 x PI x CB. Comme ces deux distances sont égales (2xPIxCA = 2xPIxCB), on a obligatoirement CA=CB.

Donc les deux roues ont le même rayon.